圖2-1  質量守恒的微元體

將質量守恒定律應用到高溫流體流動中（如圖2-1）所示，即得連續性方程：

在不穩定流(liu)(liu)動時(shi)(shi)，流(liu)(liu)入(ru)的流(liu)(liu)體質量(liang)與流(liu)(liu)出的流(liu)(liu)體質量(liang)之差應等(deng)于(yu)封閉空間中(zhong)(zhong)流(liu)(liu)體質量(liang)的變化；而在穩定流(liu)(liu)動時(shi)(shi)則(ze)流(liu)(liu)入(ru)流(liu)(liu)體質量(liang)必(bi)然等(deng)于(yu)流(liu)(liu)出的流(liu)(liu)體質量(liang)，其數學(xue)表(biao)達式即(ji)為連續性方程。在直角坐標系中(zhong)(zhong)

不穩定(ding)流動時

（2-1）

穩定流動時，則

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項之和則，

div u=▽·u=0

在柱坐(zuo)標系中

不穩定流動時

（2-2）

穩定(ding)流動時

（2-2a）

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

（2-2b）

直角坐標和柱坐標之間的(de)換(huan)算公式如(ru)下：

（2-3）

連續性方(fang)程表示了流(liu)體運(yun)動(dong)時，其(qi)速度(du)與(yu)密(mi)度(du)之間的關系。

二(er)、能量方程

根據能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和，等于流體對外所作的機械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以及動能，位能（gZ2-gZ1）和內能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的數學表達式則為

（2-4）

其微(wei)分形(xing)式為

（2-4a）

式(shi)中，而

兩者之和為（i2-i1）

三、粘(zhan)性(xing)流體運動方程(cheng)

根據牛頓第二定律，考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運動微分方程式，該式又稱為納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程，這是流體動力學基本方程之一，在直角坐標系中表示為（見圖2-2）。

（2-5）

方程組(zu)中左邊*項為(wei)單位質量力(li)；左邊第(di)二項為(wei)壓力(li)，第(di)三項為(wei)摩擦(ca)力(li)，合(he)稱為(wei)表(biao)面(mian)力(li)；右(you)邊為(wei)慣性力(li)。

在柱坐標(biao)系中(zhong)則表(biao)示為

（2-）

圖2-2  粘性流體運動分析

式(shi)中一直(zhi)角坐(zuo)標拉普拉斯算子

一柱坐(zuo)標用拉(la)普拉(la)斯算子；

一(yi)歐拉系數。

對于可壓縮流體，考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式：對于直角坐標為

（2-6）

對于柱坐標系則表(biao)示為：

（2-6a）

N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續性方程共有四個方程式，當邊界條件和初始條件確定后，原則上可求解不可壓縮粘性流體運動問題中的四個未知數ux、uy、uz和p。許多層流問題，如園管層流、平行平面間層流、同心園環間層流都可以用N-S方程求出解，而且流體潤滑問題也可用N-S方程求近似解。